Şuay Alpay, 1960′ yılında Elazığ’da doğdu. İlk, orta ve lise tahsilini Elazığ’da tamamlayan Alpay, İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesini bitirdi.
1986 yılında hakimlik stajına başladı ve 1991 yılına kadar ceza ve hukuk hakimliği yapan Alpay, 1991 yılından sonra serbest avukat olarak çalıştı.
Alpay, 2011 genel seçimlerinde AK Parti’den Elazığ Milletvekili seçildi. AK Parti MKYK üyesi olan Alpay, evli ve 3 çocuk babası.

7 Haziran 2015 Genel Seçimleri Adalet ve Kalkınma Partisi 25. Dönem milletvekili adayıdır.